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[SCOI2008] 天平

差分约束，套路地连边，套路地枚举得到答案

c1: \min(A-i) > \min(j-B)

c3: \min(i-A) > \min(B-j)

c2: \min(A-i)=\max(A-i) \,\, \min(B-j)=\max(B-j) \,\, A-i=B-j

具体式子看代码吧：

 

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HDU 1534 Schedule Problem

考虑把几个约束关系用数学式子描述（ s 为起始时间，v 为持续时间）

FAF: s_a + v_a \geqslant s_b + v_b \rightarrow s_a - s_b \geqslant v_b - v_a

FAS: s_a + v_a \geqslant s_b \rightarrow s_a - s_b \geqslant - v_a

SAF: s_a \geqslant s_b + v_b \rightarrow s_a - s_b \geqslant v_b

SAS: s_a \geqslant s_b \rightarrow s_a - s_b \geqslant 0

然后暴力建图最长路

注意判正环。

这题可以说很入门了 😉

 

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POJ 1364 King

继续套路地把每个位置 a_i 拿出来当做“值”。

然后再套路地把前缀和搞出来 s_i = \sum_{j=1}^i{a_j} 。

然后题面的约束条件就成了：

s_r - s_{l-1} > ki

和

s_r - s_{l-1} < ki

差分约束用的是 \leqslant 和 \geqslant 。 

那么就全转化成 A - B \leqslant C 算了。

那么就

s_{l-1} - s_r \leqslant -1-k

s_{r} - s_{l-1} \leqslant k-1

判负环。

 

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POJ 1201 Intervals

首先复习一下差分约束系统建图基本知识：

  • 对于约束条件 a-b \leqslant c ，我们建 b \rightarrow a 的边，权为 c。
  • 这个时候求图的最短路，得到的是最大解。（负环无解）
  • 对于约束条件 a-b \geqslant c ，我们建 b \rightarrow a 的边，权为 c。
  • 这个时候求图的最长路，得到的是最小解。（正环无解）

我们来观察这个题。

尝试向差分约束去靠拢，那么观察题面，条件是

r_i - l_{i-1} \geqslant c_i

这玩意怎么来的呢? 首先我们把这个题看成“选子集”的问题（一个位置代表一个元素）

套路地，我们设 x_i 是第 i 位置的”值” ( 选中-> 1 未选中-> 0 )

套路地，我们设 s_i 是前 i 位置”值”的前缀和。

那么就可以得出以上的约束式。

并且以这样的转化，我们一定可以建立关系

0 \leqslant s_{i} - s_{i-1} \leqslant 1

这些关系已经够了。但是有个地方很不舒服，就是上面的两个 \leqslant。

把式子倒过来：

s_{i} - s_{i-1} \geqslant 0

s_{i-1} - s_{i} \geqslant -1  

做完了。

注意 s_{0-1} 会爆炸所以把所有下标 +1 。

 

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USACO 草鉴定Grass Cownoisseur

In an effort to better manage the grazing patterns of his cows, Farmer John has installed one-way cow paths all over his farm. The farm consists of N fields, conveniently numbered 1..N, with each one-way cow path connecting a pair of fields. For example, if a path connects from field X to field Y, then cows are allowed to travel from X to Y but not from Y to X.

Bessie the cow, as we all know, enjoys eating grass from as many fields as possible. She always starts in field 1 at the beginning of the day and visits a sequence of fields, returning to field 1 at the end of the day. She tries to maximize the number of distinct fields along her route, since she gets to eat the grass in each one (if she visits a field multiple times, she only eats the grass there once).

As one might imagine, Bessie is not particularly happy about the one-way restriction on FJ’s paths, since this will likely reduce the number of distinct fields she can possibly visit along her daily route. She wonders how much grass she will be able to eat if she breaks the rules and follows up to one path in the wrong direction. Please compute the maximum number of distinct fields she can visit along a route starting and ending at field 1, where she can follow up to one path along the route in the wrong direction. Bessie can only travel backwards at most once in her journey. In particular, she cannot even take the same path backwards twice.

INPUT: (file grass.in)

The first line of input contains N and M, giving the number of fields and the number of one-way paths (1 <= N, M <= 100,000).

The following M lines each describe a one-way cow path. Each line contains two distinct field numbers X and Y, corresponding to a cow path from X to Y. The same cow path will never appear more than once.

OUTPUT: (file grass.out)

A single line indicating the maximum number of distinct fields Bessie

can visit along a route starting and ending at field 1, given that she can

follow at most one path along this route in the wrong direction.

四句话题解(非常简单)：

Tarjan瞎缩一波点

然后单原SPFA求点1能到的点的答案贡献

然后跑单汇SPFA求能到点1的点的答案贡献

最后枚举反边判相连求答案

 

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JZOJ 3808 | Luogu2103 道路值守

题目描述

Z-Kingdom有着四通八达的现代化交通。时值独立庆典之际，随着来自周边国家旅客的日益增多，犯罪行为也悄无声息开始滋长起来。

特别任务支援科的警察们从总部收到了关于调查伪装在游客中的犯罪分子的请求。通过调查，他们得到了一张地图，记载了Z-Kingdom内每一条道路的长度。

显然，为了减少犯罪行为被发现的可能性，犯罪分子总是会选择最短的路径来行动。为了方便安排人手和推测犯罪分子采取的路线，他们希望得知任意两个地点之间，有多少条犯罪分子可能会选择的道路。

输入输出格式

输入格式：

第一行，包含两个整数N，M，表示Z-Kingdom内的地点数和道路数。

接下来N行，每行包含三个整数x，y，z，表示道路连接的两个不同地点的标号，以及道路的长度。道路是双向的。

两个不同地点之间不会有超过一条道路。

输出格式：

输出一行，包含 N (N-1)/2 个整数。

其中表示 x 号地点到 y 号地点之间有多少条犯罪分子可能会选择的道路。

先Floyd求出最短路

对于每一个点i：

{

枚举所有点j ，确保i,j联通，且i,j不是一点。

然后检查有多少点k与j有连边，且在i-j的最短路disi,j上。（也就是检查从i到j有多少条边满足在disi,j上且与j相连）

       esumj=∑k1     k∈(g[k][j]!=0 && dis[i][k]+g[k][j]==dis[i][j])

最后考虑DP

枚举一个终点j，再枚举一个k，如果k在i-j的最短路上，那么esum[k]个方案计入C[i][j]。（有esumk条边可以到k点，在最短路上可以选k点，所以要计入方案数目）

}

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BZOJ1880 | SDOI2009 Elaxia的路线

Description

最近，Elaxia和w**的关系特别好，他们很想整天在一起，但是大学的学习太紧张了，他们 必须合理地安排两个人在一起的时间。Elaxia和w**每天都要奔波于宿舍和实验室之间，他们 希望在节约时间的前提下，一起走的时间尽可能的长。 现在已知的是Elaxia和w**所在的宿舍和实验室的编号以及学校的地图：地图上有N个路 口，M条路，经过每条路都需要一定的时间。 具体地说，就是要求无向图中，两对点间最短路的最长公共路径。

Input

第一行：两个整数N和M（含义如题目描述）。 第二行：四个整数x1、y1、x2、y2（1 ≤ x1 ≤ N，1 ≤ y1 ≤ N，1 ≤ x2 ≤ N，1 ≤ ≤ N），分别表示Elaxia的宿舍和实验室及w**的宿舍和实验室的标号（两对点分别 x1,y1和x2,y2）。 接下来M行：每行三个整数，u、v、l（1 ≤ u ≤ N，1 ≤ v ≤ N，1 ≤ l ≤ 10000），表 u和v之间有一条路，经过这条路所需要的时间为l。 出出出格格格式式式：：： 一行，一个整数，表示每天两人在一起的时间（即最长公共路径的长度）。

Output

一行，一个整数，表示每天两人在一起的时间（即最长公共路径的长度）

如果你没有意识到两个人即使对头走也算的话（既一个从x1到y1，一个从y2到x2）那你可以和我一样吐槽出题人的语文功底了。

（如果不反过来做的话建了两条边，就出环了）

先跑四次最短路

然后我们枚举所有满足条件的边Ei,j，使

dis[x1][i]+dis[j][y1]+Ei,j等于dis[x1][y1]且dis[x2][i]+dis[j][y2]+Ei,j等于dis[x2][y2]

翻译成人话也就是枚举一条公共边，使这条公共边在x1到y1的最短路上且在x2到y2的最短路上。

然后建一个新图，把这条边换成有向边加到图上去。

最后就是拓扑排序跑最长路。

注意还要反过来再做一遍(dis[x1][i]+dis[j][x2]+Ei,j = dis[y2][i]+dis[j][x2]+Ei,j)

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BZOJ1922 | SDOI2010 大陆争霸

Description

在一个遥远的世界里有两个国家：位于大陆西端的杰森国和位于大陆东端的 克里斯国。两个国家的人民分别信仰两个对立的神：杰森国信仰象征黑暗和毁灭 的神曾·布拉泽，而克里斯国信仰象征光明和永恒的神斯普林·布拉泽。 幻想历 8012年 1月，杰森国正式宣布曾·布拉泽是他们唯一信仰的神，同 时开始迫害在杰森国的信仰斯普林·布拉泽的克里斯国教徒。 幻想历 8012年 3月2日，位于杰森国东部小镇神谕镇的克里斯国教徒发动 起义。 幻想历 8012年 3月7日，神谕镇的起义被杰森国大军以残酷手段镇压。 幻想历 8012年 3月8日，克里斯国对杰森国宣战。由数十万大军组成的克 里斯军团开至两国边境，与杰森军团对峙。 幻想历 8012年 4月，克里斯军团攻破杰森军团防线进入神谕镇，该镇幸存 的克里斯国教徒得到解放。 战争随后进入胶着状态，旷日持久。战况惨烈，一时间枪林弹雨，硝烟弥漫， 民不聊生。 幻想历 8012年 5月12日深夜，斯普林·布拉泽降下神谕：“Trust me, earn eternal life.”克里斯军团士气大增。作为克里斯军团的主帅，你决定利用这一机 会发动奇袭，一举击败杰森国。具体地说，杰森国有 N 个城市，由 M条单向道 路连接。神谕镇是城市 1而杰森国的首都是城市 N。你只需摧毁位于杰森国首都 的曾·布拉泽大神殿，杰森国的信仰，军队还有一切就都会土崩瓦解，灰飞烟灭。 为了尽量减小己方的消耗，你决定使用自爆机器人完成这一任务。唯一的困 难是，杰森国的一部分城市有结界保护，不破坏掉结界就无法进入城市。而每个 城市的结界都是由分布在其他城市中的一些结界发生器维持的，如果想进入某个 城市，你就必须破坏掉维持这个城市结界的所有结界发生器。 现在你有无限多的自爆机器人，一旦进入了某个城市，自爆机器人可以瞬间 引爆，破坏一个目标（结界发生器，或是杰森国大神殿），当然机器人本身也会 一起被破坏。你需要知道：摧毁杰森国所需的最短时间。

Input

第一行两个正整数 N, M。 接下来 M行，每行三个正整数 ui, vi, wi，表示有一条从城市ui到城市 vi的单 向道路，自爆机器人通过这条道路需要 wi的时间。 之后 N 行，每行描述一个城市。首先是一个正整数 li，维持这个城市结界所 使用的结界发生器数目。之后li个1~N 之间的城市编号，表示每个结界发生器的 位置。如果 Li = 0，则说明该城市没有结界保护，保证L1 = 0 。

Output

仅包含一个正整数 ，击败杰森国所需的最短时间。

这种访问次序恰巧符合Dijkstra的特点，因为每个点只会走一次。

记录一下点权，先访问点权为0的点，再检查结界生成器可以使哪些点的点权减小

顺便当某个点的点权减小为0的时候讨论机器人到了城市但是有结界，需要等候的情况。

最后直接一波Dijkstra最短路就好了【然而写了很久……虚啊

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USACO 牛的旅行 Cow Tours

一道比较困难的Floyd题目。

首先路径肯定都会算，就不说了。其次，Floyd也没有什么问题。

我们的策略是枚举两个不联通的点，把他们联通，求出新牧区的最小直径。

关键细节看代码

（如果有哪位dalao知道为什么要 if (i!=k && j!=k && i!=j) 麻烦您在评论中回复我）

 

 

 

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#洛谷 通往奥格瑞玛的道路

题面对我来说貌似有毒，看了很长时间才看懂这是一个最大值最小问题 果断二分答案。

主要思想是先跑一边Bellman-Ford+队列优化（也叫SPFA）把二分值设定成+∞ 然后看一看如果到终点的花费大于血量就输出AFK(away from keyboard)

如果可行就快排点权+二分下标 如果当前二分值可以跑到终点（跑SPFA判）就向左找(升序sort)，不然就向右找。

跑SPFA的时候传一个upat也就是二分值 把点权大于二分值的点都判（删）掉 

 

还有一点就是最后还要判一下二分值。链式前向星+SPFA+手写Sort，没有注释……