毒瘤微积分(有限微积分|离散微积分)

毒瘤排版,有空再修

 

今天下午见识了毒瘤微积分,来写一下……

虽然具体数学上讲的蛮好的

以下介绍的运算都是对整数域上有定义的函数适用

( 当然,如果定义域不包含整数集,但是在关注的区间内的所有整数上都有定义,那么也可以)

(相当于微积分中的”连续”)

首先要搞清楚什么是斯特林数。后面我闲起来再写文吧,这一阵子压的文有点多,先不介绍了。各大 Wiki 上讲的应该都挺好。

然后我们就把公式先搬过来不管了:

x^n=\sum_{i=0}^n{\left\{ \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right\} x^{\underline{i}}}

离散意义下的所谓“微分”(求导)

感觉很扯淡吧……都离散了还怎么求导 ?

其实根本不是求导那一套(不过确实有关系)

离散意义下只要“连续”就可导,那么定义前向差分算子 \Delta(前向差分简称差分)

\Delta f(x) \xlongequal{\mathrm{def}} f(x+1) - f(x)

或者更广泛的说

\Delta_{h} f(x) \xlongequal{\mathrm{def}} f(x+h) - f(x)

以前傻子的我一直以为差分就是序列上扫一遍减一减……

离散意义下的“积分”

在这边我们先说和“定积分”相像的部分。

无限微积分里面有个算子 D 是用来求导的,那么他的逆算子(积分算子) 是 \int  。

相似地,差分算子的逆是 \sum

离散意义下也有类似的基本定理:

g(x)=\Delta f(x) \Leftrightarrow \sum{g(x) \delta x } = f(x) + C

这里 \sum{g(x) \delta x } g(x) 的不定和式,是差分等于 g(x) 的一个函数类。而 C 是满足 p(x+1) = p(x) 的一个任意函数 p(x) 。这样差分的时候 C 就没了。

然后定积分就变成和式了:

\sum_{a}^{b}{g(x) \delta x } = f(x) \mid_{a}^{b} = f(b) - f(a)

这里注意他是区间 [a,b) 上的求和( \sum_{a\leqslant i < b}{g(i)} ,右半边是开的。


离散意义下的差分公式

这类玩意是最有用的,类似求导公式。

比如说我给你个 x^k 。现在我们知道他的导数显然是 kx^{k-1}

但是这不适用于有限微分。不过我们有下降幂这个东西:

\Delta(x^{\underline{k}}) = kx^{\underline{k-1}}

唔,具体推导大概是

\Delta(x^{\underline{k}}) = (x+1)^{\underline{k}} - x^{\underline{k}} = (x+1-(x-k+1))x^{\underline{k-1}} = kx^{\underline{k-1}}

幂级数怎么搞?还记得开头的公式么?

x^n=\sum_{i=0}^n{\left\{ \begin{array}{c} n \\ i \end{array} \right\} x^{\underline{i}}}

然后包括指数函数

\Delta k^x = k^{x+1} - k^x = (k-1) k^x

这公式非常简单,轻松易懂…

别的类的也都可以类似地推出来

有意思的是 \Delta 2^x = 2^x ,而 2 = \lfloor e \rfloor ……


离散意义下的求导法则

看,基本都是成立的:

\Delta \left( f\left( x \right) +g\left( x \right) \right) =f\left( x+1 \right) +g\left( x+1 \right) -f\left( x \right) -g\left( x \right) =\Delta \left( f\left( x \right) \right) -\Delta \left( g\left( x \right) \right)

如果预先定义一个位移算子 E 使得满足 Ef\left( x \right) =f\left( x+1 \right) 的话

\Delta \left( f\left( x \right) g\left( x \right) \right) =f\left( x+1 \right) g\left( x+1 \right) -f\left( x \right) g\left( x \right) =\left( f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) \right) g\left( x+1 \right) +\left( g\left( x+1 \right) -g\left( x \right) \right) f\left( x \right) =\Delta f\left( x \right) Eg\left( x \right) +\Delta g\left( x \right) f\left( x \right)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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